Desde que o homem começou a observar os fenômenos naturais e verificar que os mesmos seguiam princípios constantes, ele observou que estes fenômenos podiam ser colocados por meio de "fórmulas". Este princípio levou a utilização da matemática como uma ferramenta para auxiliar estas observações. Este é o princípio da matemática como um modelo, ou seja, modelar matematicamente o mundo em que vivemos e suas leis naturais.
No Egito antigo, a matemática, por meio da geometria, procurou resolver os problemas causados pelas enchentes do rio Nilo. Estas enchentes causavam um transtorno muito grande aos trabalhadores e proprietários de terras, pois quando as águas baixavam, os terrenos não possuíam mais seus limites definidos. Era necessário que todos remarcassem suas divisas. Com o auxílio da geometria esta tarefa tornou-se mais fácil de ser realizada. Além disto, a matemática foi uma ferramenta essencial ao implemento da astronomia pelos sacerdotes egípcios. Desde o Egito antigo a astronomia foi uma área das ciências que utilizou a matemática como uma ferramenta.
Na Grécia antiga, vários pensadores procuraram modelar situações do cotidiano com o auxílio da matemática. Arquimedes disse: "dê-me uma alavanca e moverei o mundo". O mesmo Arquimedes, ao imergir em uma banheira com água descobriu como calcular a massa de ouro constante em uma coroa. Pitágoras formulou seu mais conhecido teorema: "a soma do quadrado dos catetos é igual a hipotenusa ao quadrado". Este teorema é extremamente necessário ao cálculo de triângulos, base de muitos cálculos da engenharia, arquitetura e outros. Mesmo um simples pedreiro, ao realizar o levantamento das paredes de uma casa ou mesmo do alicerce, precisa utilizar um triângulo retângulo pitagórico para colocar alinhamento em sua construção. Ele não sabe que o seu trabalho utiliza o triângulo de Pitágoras. Assim, ele tem o conhecimento prático mas não tem o conhecimento empírico. Na Grécia, também, tivemos o surgimento de uma sociedade fechada, destinada ao estudo da matemática: a sociedade pitagórica. Esta sociedade tinha por princípio que tudo na natureza e na vida das pessoas poderia ser expressa por meio de números. Pitágoras já dizia que "tudo é número". Esta sociedade sofreu uma contestação muito grande por parte de filósofos gregos, principalmente Sócrates. Sócrates questionava muito esta idéia pitagórica de que tudo no mundo poderia ser expresso por meio de números. Sócrates questionava o conceito de que 1+1=2. Como que duas unidades separadas, diferentes, ao serem adicionadas poderiam resultar em uma?
Durante o período Grego, a matemática evoluiu muito. Mas mesmo nesta evolução, a matemática era essencialmente prática. Ela se destinava a resolução de problemas práticos. Mas, foi durante o período Grego que a matemática começou a ser vista não como uma simples ferramenta que auxiliava aos problemas diários, mas que também ela poderia ser uma ciência teórica. Demonstrações de teoremas, postulados e análises começaram a tomar forma cada vez mais forte. Este é o outro enfoque que a matemática pode abordar. É a parte pura da matemática, que também pode ser trabalhada de uma maneira interessante junto aos alunos.
Neste período grego, tivemos vários desenvolvimentos da matemática. Euclides escreveu seus "Elementos", os quais fornecem toda a base de nossa geometria atual. Apolônio de Perga desenvolveu toda a teoria das "Cônicas". Tales também deu importantes contribuições à geometria. Durante o período grego a matemática teve um desenvolvimento muito grande. Seja na parte aplicada ou na parte pura. Mas, com certeza o desenvolvimento maior se deu na parte da matemática abstrata.
Com o declínio da hegemonia Grega, entra em cena a matemática dos Árabes e Hindus. A matemática Árabe e Hindu também foi essencialmente prática. Com o aumento do comércio entre os povos a matemática teve papel importante. Precisava-se registrar as compras, as dívidas, os juros. Além disto, foi com os Hindus que obteve-se uma forma de calcular áreas de uma maneira rápida e fácil, através do processo elaborado pelo matemático Báskhara. A invasão do continente europeu pelos muçulmanos levou a este a matemática Árabe e Hindu. Este contato propiciou a que os europeus tivessem conhecimento desta grande matemática desenvolvida no oriente médio e na Ásia. Durante este período onde houve uma hegemonia árabe e hindu sobre as ciências, a europa estava voltada sobre o feudalismo e o controle rigoroso da igreja católica, o qual fez cercear o conhecimento científico, não havendo avanços significativos na matemática.
Durante a idade média, as ciências sofreram um bloqueio muito grande por parte da igreja, que vetava tudo que fosse contra os dogmas religiosos da época. Mesmo assim conseguiu-se alguns progressos interessantes na observação de alguns fenômenos naturais e sua conseqüente modelagem para aplicação prática. Fibonacci criou a sua famosa série ao observar a procriação de coelhos. Copérnico também utilizou os conhecimentos da astronomia e da matemática para provar que era a terra que girava em torno do sol. Giordano Bruno também questionou dogmas religiosos da época por meio de observações realizadas na natureza. Um de seus questionamentos foi quando ele desenvolveu a teoria de que o universo era infinito. Por causa desta sua teoria foi preso, questionado pela inquisição e como não abdicou de suas teorias, foi queimado vivo em Roma. Leonardo da Vinci utilizou em suas pinturas a razão áurea. Além do que Da Vinci foi um grande cientista e inventor que utilizou a matemática como uma ferramenta necessária aos seus inventos.
A partir da idade média até o fim do século passado, os grandes pensadores utilizaram a matemática como uma ferramenta para modelar os fenômenos da natureza (gravidade, luz, reflexo, velocidade, tempo, etc...). Renné Déscartes (matemático e filósofo Francês) foi um pesquisador das ciências, filosofia, direito, entre outras ciências, que procurou modelar situações do cotidiano e da natureza por meio da geometria analítica. Déscartes foi quem, em primeiro lugar, representou funções por meio de representações gráficas. Muitas das modelagens que Déscartes fez com a geometria analítica são base, hoje, para situações da administração, economia, ciências contábeis, informática, etc. Isaac Newton procurou modelar os fenômenos físicos por meio de modelos matemáticos. Newton conseguiu demonstrar que todos os fenômenos da natureza podem ser modelados matematicamente. O maior matemático francês do século XVI foi François Viéte. Segundo a história, Viéte conseguiu quebrar um código secreto usado pela Espanha, formado por, aproximadamente, 600 caracteres, conseguindo com isto uma vantagem para seu país na guerra travada contra a Espanha durante dois anos. O rei Felipe II da Espanha estava tão seguro de seu código secreto que acusou Viéte de que a França estava usando magia contra seu país.
Durante o renascimento ocorrido na Europa a partir do século XIV e, principalmente, até o século XVI, ocorreu um grande desenvolvimento da matemática. Neste período foram determinados grandes avanços científicos e matemáticos que auxiliaram em grande parte aos descobrimentos marítimos e que levaram à revolução industrial no final do século XVII e começo do século XVIII.
Com a revolução industrial a matemática tomou um impulso muito grande, pois foi preciso criar modelos teóricos para implementação de máquinas, centros de produção, produção em série e armazenamento, entre outros. Aqui, a engenharia foi uma das ciências que mais utilizou a ferramenta matemática. Com o aumento do uso da engenharia, também foi muito útil o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.
Após a segunda guerra, a matemática ajudou a desenvolver um outro campo que estava começando a ser desenvolvido em larga escala: a informática. Hoje sabemos que é impossível desenvolver tópicos em informática sem o uso da ferramenta matemática. Apesar de que esta ferramenta é essencial à informática, ainda vemos alguns cursos superiores em informática e/ou sistemas de informação que estão eliminando várias matérias de matemática de seus cursos, visto que causa muita reprovação entre os alunos. A matemática é um modelo básico para a informática, a qual está toda fundamentada no sistema binário (0-1).
Com este comentário sobre alguns cursos superiores não utilizarem a matemática devidamente, quero fazer uma explanação de como podemos auxiliar aos alunos e as instituições em uma maneira mais clara de ensinar a matemática, especificamente, o ensino da matemática em cursos que dela fazem uso.
A empresa Walt Disney produziu, na década de 80, um filme intitulado "Donald no país da matemágica". Este filme procura mostrar muitas aplicações da matemática no cotidiano, bem como na natureza. Ele apresenta de maneira clara e precisa que os conceitos matemáticos modelaram todo o conceito de arquitetura dos Gregos até a metade do século passado, com o retângulo de ouro (Partenon, catedral de Notre-Dame, estátuas gregas, etc). A natureza nos fornece uma infinidade de plantas que seguem o formato do pentagrama. As abelhas têm seus favos em formato hexagonal, ou seja, a natureza está toda moldada matematicamente.
A medicina, campo onde muitos acreditam que não há como a matemática prosperar, também é um exemplo de que podemos modelar matematicamente várias situações. Como exemplo podem ser citadas as batidas do coração em um intervalo de tempo. Elas podem ser modeladas por meio de uma função trigonométrica. O respirar, contração e expansão dos pulmões também seguem o princípio trigonométrico. Mesmo a medicina necessita de dados estatísticos. Como obter estes dados estatísticos? Somente com o uso da matemática. Assim, até na medicina a ferramenta matemática é necessária. Sem a matemática, todos os instrumentos ópticos que a medicina usa seriam impensáveis. Hoje são realizadas cirurgias a laser. Como pensar nestas cirurgias sem a ferramenta matemática?
A biologia é outro ramo da ciência que utiliza a matemática como modelo ou ferramenta. O processo de análise combinatória, probabilidade e estatística teve seu início na biologia e posteriormente foi encampada e desenvolvida pelos matemáticos.
Na administração, economia e ciências contábeis temos uma aplicação direta dos conceitos de função, diferenciais e integrais. A logística é outra disciplina que utiliza amplamente os conceitos matemáticos. Trabalhei por vários anos em cursos superiores de administração e é com tristeza que vejo estes cursos usarem de uma forma muito simples, e em muitas vezes errada, desta ferramenta essencial. Várias instituições de ensino superior destas áreas estão tirando de suas grades curriculares as disciplinas de matemática. Usam como base para esta escolha o fato de que os alunos têm muitas dificuldades nesta matéria. Sabemos que os alunos vêm com uma defasagem muito grande do ensino médio, o que acarreta altos índices de reprovação nos primeiros semestres dos cursos superiores.
Qual o problema do ensino da matemática no ensino médio? Porque os alunos não gostam dela? Como proceder para reverter este quadro?
Tudo que não tem sentido para o aluno, não tem uma aplicação prática, não leva a um interesse por parte dele. Como reverter este quadro? Os professores de ensino fundamental e médio precisam entender que a matemática não pode ser ensinada como uma matéria teórica, como uma ciência abstrata. Se isto for feito, o aluno não vê uma aplicação para ela, não vai entender e não vai gostar. Portanto, precisamos ensinar a matemática como um modelo que vai auxiliar a todas as demais atividades humanas. Precisamos mostrar ao aluno que todos os conceitos matemáticos têm aplicação nos diversos ramos da vida humana. Posso citar como exemplo o ensino de funções, onde procurei mostrar aos alunos do primeiro ano do ensino médio o seu uso e sua aplicação em diversos problemas de administração, economia e contábeis. O aluno precisa entender que aqueles conceitos matemáticos que não tem uma aplicação imediata, servem de subsídio para os demais, que tem. Outro exemplo que podemos citar é um assunto considerado extremamente difícil e complicado para o aluno: logaritmos. Se o ensino dos logaritmos for efetuado de uma forma pura, é lógico que o aluno não terá interesse. Mas, se este ensino for efetuado relacionando o seu uso com, por exemplo, o cálculo do tempo de aplicação do juro composto, o aluno verá uma relação com uma situação prática e entenderá que logaritmo pode ser um modelo para cálculo de juro composto. Assim como este, existem "n" situações onde o educador pode e deve fazer a "ponte" entre a matemática, seus modelos e a realidade do aluno.
O grande problema é que, basicamente, temos um ciclo vicioso. Temos alunos que detestam a matemática, pais que não compreendem esta "matemática moderna" e professores que, basicamente, em sua formação não tiveram acesso à história da matemática e não sabem aplicar a mesma como um modelo para a vida do aluno e da sua família. Muitos pais dizem que não tem como auxiliar seus filhos, pois esta matemática moderna é diferente daquela do tempo deles. Eles estão em parte certos. A matemática é a mesma do tempo dos Gregos. Ela não mudou, evoluiu. Nossos pais tinham uma matemática mais simples, pois a sua vida era mais simples. Bastava para eles, basicamente, conceitos simples da matemática. Com a evolução da sociedade, evoluiu a matemática. O grande problema que vejo é a falta de embasamento dos professores quando vão exercer o ofício em sala de aula. São poucos os professores que conseguem fazer a "ponte" entre a teoria e a prática. De quem é a culpa? Das instituições de ensino superior que não fornecem em seus cursos matérias voltadas para este ensino e dos profissionais da educação que não procuram se atualizar e estudar uma melhor maneira de efetuar este ensino da matemática como ferramenta. Isto gera o ciclo vicioso: o aluno aprende de uma maneira abstrata, a seguir este aluno ingressa em uma faculdade, torna-se professor e voltará para a sala de aula, onde formará outro profissional nos mesmos moldes em que ele foi formado. Precisamos romper este círculo. Cabe ao professor fazer a ligação da matemática com a realidade por meio de atualizações constantes.
Assim, a grande dificuldade está em fazer o educador transportar a realidade do aluno para o cálculo matemático. É muito mais cômodo e simples ao educador trabalhar com um livro didático do que elaborar questões que farão o aluno pensar. O educador jamais deveria trabalhar com questões prontas, "fechadas". As questões devem contemplar estes itens: leitura, interpretação, montagem e resolução. Quando estes quatro itens são contemplados, exigirá do aluno um conhecimento muito mais amplo, não apenas matemático.
Aqui surge um problema. Grande parte das universidades não ensina ao futuro educador a matemática com aplicações. Normalmente a disciplina "História da Matemática" não faz parte do currículo universitário. Esta deficiência será repassada ao aluno, pois se o educador tem uma formação deficiente ele repassará esta deficiência aos alunos. Outro ponto importante a ser considerado é quanto à "reciclagem" dos profissionais em educação matemática. Muitas vezes não é oportunizado pelas escolas e governos a que o professor faça cursos de reciclagem ou mesmo de aperfeiçoamento do ensino da matemática. Além disto, a maioria dos cursos é sobre matemática pura ou educação matemática. Não há muita oferta de cursos sobre matemática aplicada ou mesmo sobre como usar a matemática como uma ferramenta auxiliar às demais disciplinas.
Por tudo o que foi comentado, podemos observar que não há como dissociar a matemática e seus modelos das situações práticas. Nas palavras de Galileu: "a matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo". Também nas palavras de Pitágoras: "tudo está arranjado conforme as formas e os números".
Para concluir, podemos afirmar que o caminho para a melhoria do ensino-aprendizagem da matemática só terá uma melhoria significativa se educadores e alunos virem a matemática como um modelo ou uma ferramenta necessária para modelar todo o processo de suas vidas.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS